公共汽车站于每小时的10分，30分，55分发车，设乘客不知发车时间，在每小时内的任意时刻到达

对于任意一个小时（不妨设从[07:00,08:00))，如果乘客在[07:00,07:10)或[07:55,08:00)到了车站，那么他/她只能坐10分发车的那趟，这段时间长为15分钟，占一小时的1/4，即坐10分发车的那趟车的概率为1/4。

专门办理旅客运输业务的汽车站，一般设在公路旅客集散点，其规模大小视当地的客运量而定。中国把汽车客运站分为三等。省辖市及港口、铁路枢纽一般设一等站；县、市人民政府驻地一般设二等站；乡政府驻地或较大集镇设三等站。客运站的主要工作分商务和车务两大部分。

汽车客运站：

商务如售票、接受行李包裹的托运等；车务如车辆的调度、检查、加油、维修、接收和发送等。客运站的组织机构和人员配备视其等级和业务繁简而定，通常设有售票处、问事处、行包托运处、小件寄存处、候车室、停车场等。大的客运站还有为旅客和车辆驾乘人员提供食宿的设施。

客运站要定期作客源调查，掌握辖区旅客的流量、流向、流时及其变化规律和道路通阻情况，提出公路客运班车计划安排意见，并负责监督客车运行作业计划的执行，处理辖区内班车运行中发生的问题。

对于任意一个小时（不妨设从[07:00,08:00))
如果乘客在[07:00,07:10)或[07:55,08:00)到了车站，那么他/她只能坐10分发车的那趟，这段时间长为15分钟，占一小时的1/4，即坐10分发车的那趟车的概率为1/4；
同理，坐30分发车的那趟车的概率为20/60=1/3，55分发车的那趟车的概率为25/60=5/12；
现在所求期望就应该是——
1/4 * 等待10分发车的那趟车的时间的期望 + 1/3 * 等待30分发车的那趟车的时间的期望 + 5/12 * 等待55分发车的那趟车的时间的期望，这也便是题主给出的那个算式的来历；
接下来求三个期望时间
直观理解一下，从上一个小时的55分过后，到这个小时的10分之前，等待时间从15分钟均匀降到0分钟，即从900秒均匀降到0秒，那么等待10分发车的那趟车的时间的期望就是450s；同理可以求出600和750这两个数
严谨地说清楚应当用积分来求，不知题主题源中学还是大学，先这么答了罢.